Tja.... das wird schwierig.
Eine Reparatur und damit auch Versand- und Prüfkosten sind nur im Garantiefall kostenlos.
Ein Kostenvoranschlag kostet Geld. Punkt.
Da eine mechanische Beschädigung vorliegt, damit weder ein Gewährleistungsfall, noch ein Garantiefall handelt es sich um eine ganz normale kostenpflichtige Reparatur.
Du kannst allerdings versuchen, sofern Du das Gerät bei diesem Händler auch gekauft hat, auf dein Recht auf kostenlose Prüfung auf Gewährleistung zu bestehen. Das hat der Händler nämlich zu tun, allerdings mit technischer Unterstützung des Herstellers. Das bedeutet widerum, dass er Dir die Kosten für Versand und Prüfung nicht in Rechnung stellen darf... Ausnahme: Du hast einen Wisch unterschrieben, der im Kleingedruckten sagt, dass in einem solchen Fall entstehende Prüfkosten auf Deine Kappe gehen.
Wie gesagt, rechtlich ganz schwierig... Kannst versuchen, einen auf dicke Hose zu machen und den Händler anzustänkern, auf versteckte Kosten nicht hingewiesen zu haben.. Erfolgsaussicht: Mau!
Allerdings kann HP das Gerät reparieren! Ein Displaytausch sollte nicht sooo teuer werden wie ein neues Notebook.
Eine Möglichkeit bleibt noch: Eine Reparaturkostenermittlung ist kostenpflichtig, ein Kostenvoranschlag nicht, es sei denn, es ist in den AGB des Händlers so hinterlegt, bzw. in dem Wisch, den Du unterschrieben hast gelistet. § 632 Abs. 3 BGB... Also genau nachlesen!